持卡人死后透支消费不应该由继承人承担责任，被继承人的债务是指被继承人个人生前依法应该缴纳的税款、罚金以及应由他个人偿还的合法的财产性债务，持卡人死后透支消费不属于被继承人债务的范畴。
根据《继承法》第三十三条，继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。