补充司法鉴定申请书应包含以下内容：

写清楚申请人的姓名。

申请事项：请求法院委托司法鉴定机构对申请人的伤残级别鉴定。

事实与理由：事实经过及申请司法鉴定的理由。

最后申请人签名，并写明日期。

以下情形需要补充鉴定：

1、原鉴定结论只是解决了其中的一部分问题，并没有全部、彻底的解决所有的与待证事实有关的专门性问题。

2、在鉴定人就某一专门性问题做出鉴定结论后，法院又发现或当事人又提交了涉及该问题的新材料。

3、在原委托鉴定时，遗漏了需要解决的问题。

4、有关当事人对鉴定结论的某些问题提出异议，并附有适当的理由和有价值的材料的。