申请精神司法鉴定有以下方式：

1、家属提出申请，提供嫌疑犯曾经患病或可能患病的相关依据(包括嫌疑人既往病史、家族病史等)，再依法鉴定。

2、公安机关查获或发现嫌疑犯有精神病症状，怀疑可能患有精神病的，为了更好破案、诉讼、定罪量刑等情况，会做司法鉴定。

3、检察院怀疑嫌疑犯患有精神病的。

法理依据：《司法鉴定程序通则》第二十五条规定，鉴定过程中，需要对无民事行为能力人或者限制民事行为能力人进行身体检查的，应当通知其监护人或者近亲属到场见证；

必要时，可以通知委托人到场见证。

对被鉴定人进行法医精神病鉴定的，应当通知委托人或者被鉴定人的近亲属或者监护人到场见证。