劳动者可以要求用人单位重新开具一份解除劳动关系通知书或者把公司原来的解除劳动关系证明通知书复印一份给劳动者。

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。用人单位依照本法有关规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办结工作交接时支付。用人单位对已经解除或者终止的劳动合同的文本，至少保存二年备查。第八十九条规定，用人单位违反本法规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。

用人单位解除合同有以下条件

(1)当劳动者符合下列情形之一的，用人单位可以直接解除劳动合同，不需向劳动者预告：①试用不合格，即在试用期间被证明不符合录用条件的;②严重违纪，即严重违反劳动纪律或企业规章制度;③给企业造成损害，即严重失职，营私舞弊，对企业利益造成重大损害的;④承担刑事责任，即被依法追究刑事责任的。(2)当劳动者符合下列情形之一的，用人单位也可以解除劳动合同，但要提前30天以书面形式预告劳动者本人：①劳动者患病或非因公负伤，医疗期满后，不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排工作的;②劳动者不能胜任工作，经过培训或调整岗位，仍不能胜任工作的;③企业劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使原合同无法履行，经当事人双方协商不能就变更合同达成此协议的。(3)用人单位还可以通过裁员的形式解除企业劳动合同，但必须符合这样的条件：①企业濒临破产进行法定整顿期间，确需裁员;②企业生产经营状况发生严重困难，确需裁员。但用人单位应当提前30天向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见，并向劳动行政部门报告。

所以，劳动合同解除证明丢失之后，可以去原工作单位补开。

法律依据

《中华人民共和国劳动合同法（2012修订）》第五十条 【劳动合同解除或者终止后双方的义务】用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。用人单位依照本法有关规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办结工作交接时支付。
用人单位对已经解除或者终止的劳动合同的文本，至少保存二年备查。

《中华人民共和国劳动合同法（2012修订）》第八十九条 【不出具解除、终止书面证明的法律责任】用人单位违反本法规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，由劳动行政部门责令改正;给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。