劳动仲裁机构劳动争议的调解程序如下：

1、当事人提出调解申请；

2、仲裁员一人主持调解或者由仲裁庭主持调解；

3、达成协议的，制作调解协议书；未达成协议的，可申请仲裁。

【法律依据】

《劳动争议调解仲裁法》第十二条规定，当事人申请劳动争议调解可以书面申请，也可以口头申请。

口头申请的，调解组织应当当场记录申请人基本情况、申请调解的争议事项、理由和时间。