根据我国法律规定，员工合同到期单位不续签继续工作的处理方式为：按照《劳动合同法》规定要求，超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，劳动者可以要求支付从第二月起每月二倍的工资。

劳动合同到期后，用人单位和劳动者没有续签，劳动者还在继续工作的，符合此项条款。